Question

如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）．

（1）在图1中画图探究：

当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ．作直线QF交直线CD于H，求证：QF⊥CD．

（2）探究：结合（1）中的画图步骤，分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式．

①当点P在CD延长线上且位于H点右边时，　_________　；

②当点P在边CD上时，　_________　．

（3）若AD=2AB=6，AE=1，连接DF，过P、F两点作⊙M，使⊙M同时与直线CD、DF相切，求⊙M的半径是多少？

　

Answer 1

解：（1）由旋转的性质得，PE=QE，EF=ED，

∵∠QEF+∠FEP=∠PEQ=90°，

∠PEC+∠FEP=∠CEF=90°，

∴∠PEC=∠QEF，

在△PEC和△QEF中，

，

∴△PEC≌△QEF（SAS），

∴∠QFE=∠PCE=90°，

∵∠FEC+∠PCE=90°+90°=180°，

∴EF∥CD，

∴∠QHC=∠QFE=90°，

∴QF⊥CD；

（2）∵△PEC≌△QEF，

∴QF=PC，

∵∠PCE=∠CEF=∠QHC=90°，CE=EF，

∴四边形EFHC是正方形，

∴CH=FH=CE，

①如图1，当点P在CD延长线上且位于H点右边时，QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE，

∴QH﹣PH=2CE；

②如图2，当点P在边CD上时，QH=QF+FH=PC+FH=CH﹣PH+FH=2CE﹣PH，

∴QF+PH=2CE；

（3）∵AD=6，AE=1，

∴DE=5，

在Rt△CDE中，CE===4，

∴DH=CH﹣CD=CE﹣CD=4﹣3=1，

在Rt△DFH中，FD===，

如图，过点M作MN⊥FH于N，

则四边形PMNH是矩形，

∵⊙M同时与直线CD、DF相切，

∴DP=FD=，

设⊙M的半径是r，

①点P在点D的右边时，在Rt△MNF中，FN=4﹣r，MN=﹣1，

由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，

即（4﹣r）²+（﹣1）²=r²，

解得r=，

②点P在点D的左边时，在Rt△MNF中，FN=r﹣4，MN=+1，

由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，

即（r﹣4）²+（+1）²=r²，

解得r=，

综上所述，⊙M的半径是或．