Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若菱形ABCD满足AC•BD=AB²，则∠ABC的度数为（菱形中A、B、C、D四点需自己标出）

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   60°或120°
4. D.
   30°或150°

Answer 1

D
分析：设菱形的面积为S，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得AC•BD=2S，过点A作AE⊥BC于E，利用正弦表示出AE，然后求出菱形的面积；或过点D作DE⊥AB于E，用正弦表示出DE，然后求出菱形的面积，从而得到∠ABC或∠BAD的度数，从而得解．
解答：解：设菱形的面积为S，则AC•BD=2S，
如图1，过点A作AE⊥BC于E，则AE=ABsin∠ABC，
∴S=BC•AE=AB•ABsin∠ABC=AB²sin∠ABC，
∵AC•BD=AB²，
∴sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°，
如图2，同理可求∠BAD=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
综上所述，∠ABC的度数为30°或150°．
故选D．
点评：本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，根据菱形的面积的两种不同表示方法求出角的正弦是解题的关键．