Question

已知一次函数y=ax+b的图象过点（-2，1），则关于抛物线y=ax²-bx+3的三条叙述：①过定点（2，1），②对称轴可以是x=1，③a＜0时，其顶点纵坐标的最小值为3．其中正确的有

①③

．（填序号）

Answer 1

分析：把点（2，-1）代入一次函数解析式求出a、b的关系式，再代入抛物线解析式，整理成关于a的方程，然后根据与a的值无关列式求解即可得到定点坐标；利用对称轴公式列式整理即可判定对称轴不可能为x=1；根据顶点坐标列出纵坐标的关系式整理即可判定③正确．

解答：解：∵一次函数y=ax+b的图象过点（-2，1），
∴-2a+b=1，
∴b=2a+1，
∴抛物线y=ax²-bx+3=ax²-（2a+1）x+3=a（x²-2x）-x+3，
当x²-2x=0时，即x=2或x=0时，y的大小与a值无关，
x=2时，y=-2+3=1，
x=0时，y=3，
所以，函数图象过定点（2，1），（0，3），故①正确；
对称轴为直线x=-

-(2a+1)

2a

=1+

1

2a

≠1，故②错误；
抛物线顶点纵坐标为：

4a•3-(2a+1)2

4a

=

-4a2+8a-1

4a

=-a+2-

1

4a

，
∵a＜0，
∴-a-

1

4a

≥2

-a×(- 1 4a )

=1，
顶点纵坐标的最小值为2+1=3，故③正确，
综上所述，正确的有①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了过定点的求法，抛物线的对称轴解析式，顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键．