题目内容
（2013•丰台区二模）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
①如图①，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图②，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图③，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若
=
，求
的值．
（1）当点O为AC中点时，
①如图①，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图②，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图③，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若
| AO |
| AC |
| 1 |
| 4 |
| OE |
| OF |
分析：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．连结OB，求出OB=
AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF2+BE2=EF2，即可得出答案；
（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出
=
，证△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．
②成立．连结OB，求出OB=
| 1 |
| 2 |
（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出
| OM |
| ON |
| OE |
| OF |
解答：解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2．
②成立．
证明：连结OB．
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=
AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
又∵∠EBO=∠FCO，
在△OEB和△OFC中
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2．
（2）如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴
=
，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴
=
，
∵
=
，
∴
=
．
②成立．
证明：连结OB．
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=
| 1 |
| 2 |
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
又∵∠EBO=∠FCO，
在△OEB和△OFC中
|
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2．
（2）如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴
| OM |
| ON |
| OE |
| OF |
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴
| OM |
| ON |
| AO |
| OC |
∵
| AO |
| AC |
| 1 |
| 4 |
∴
| OE |
| OF |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，证明过程类似．
练习册系列答案
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