Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，且AD=DC；以A为圆心，AB为半径作⊙A，交CA延长线于点E．
（1）求证：直线DC是⊙A的切线；
（2）若P是

BE

的中点，作PH⊥AE于H，若PH=5，sin∠ABE=

3

5

，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，AD∥BC，得到∴∠DAC=∠ACB，而DA=DC，则∠DAC=∠DCA，得到∠ACB=∠DCA，所以Rt△ABC≌Rt△AFC，则有AB=AF，即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到PA⊥BE，易证得∠AEB=∠HPA，而∠AEB=∠ABE，得∠ABE=∠HPA，则sin∠ABE=sin∠HPA=

AH

PA

=

3

5

，设AH=3x，PA=5x，PH=4x，而PH=5，即可求出x，从而求得AB=PA=5x．

解答：（1）证明：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
而DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠ACB=∠DCA，
在Rt△ABC和Rt△AFC中

∠AFC=∠ABC ∠FCA=∠ACB AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△AFC（AAS），
∴AB=AF，
∴CD是⊙A的切线；

（2）解：连PA，如图，
∵P是弧BE的中点，
∴PA⊥BE
∴∠AEB=∠HPA，
而∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠HPA，
在Rt△HPA中，
∴sin∠ABE=sin∠HPA=

AH

PA

=

3

5

设AH=3x，PA=5x，PH=4x，
∴4x=5，
∴x=

5

4

，
∴PA=5x=

25

4

，
∴AB的长为

25

4

．

点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质以及勾股定理．