Question

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC=  ▲ °；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．

 

Answer 1

解: （1） 　30°

　　　　 　　　 = 60°

　　 　　 （2）=60°

不妨设BP＞, 如图1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP　

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ　　　　　　　　

在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF

∴=60°

(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）

　　　　　 (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G

　　 　　　 ∵△ABE是等边三角形　 　　∴BE=AB=，由（1）得30°

　　　　　　 在Rt△BGF中，　　 ∴BF=　　 ∴EF=2

　　 　　　 ∵△ABP≌△AEQ　　　 ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF

_{过点Q作QH⊥BC，垂足为H}

在Rt△QHF中，（x＞0）

_{即y关于x的函数关系式是：}