Question

已知A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x轴交直线AC于点D．
（1）如图，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（2）当△ABD为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B的坐标．

Answer 1

解：（1）过点C作CE⊥OB于E．
在△AOB与△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴===2，
即==2，
∴BE=3，EC=t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴点C的坐标为（t+3，t）；
在Rt△BCE中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB•BC=BC²，
∴S_△ABC=t²+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，t）；
∴直线AC的解析式为y=x+6．
∵点B（t，0），
∴设D（t，t+6），
∴AB²=t²+36，AD²=t²+（t）²，BD²=（t+6）²．
分三种情况：
①当AD=AB时，t²+（t）²=t²+36，（t）²=36，
∴t=6或t=-6，
当t=6时，整理得t²-24t-36=0，
解得t₁=12+6，t₂=12-6（不合题意，舍去），
∴B₁（12+6，0）；
当t=-6时，整理得t²+36=0，
此方程无解；
②当AD=BD时，t²+（t）²=（t+6）²，
整理得t³-3t²+36t-108=0，
∴（t-3）（t²+36）=0，
解得t=3，
∴B₂（3，0）；
③当AB=BD时，t²+36=（t+6）²，
整理得t³+8t²+36t+288=0，
∴（t+8）（t²+36）=0，
解得t=-8（不合题意，舍去）．
综上可知，符合条件的点B的坐标为B₁（12+6，0），B₂（3，0）．
分析：（1）过点C作CE⊥OB于E，根据有两角对应相等的两三角形相似得出△AOB∽△BEC，列出比例式求出BE=3，EC=t，进而得到点C的坐标；先由勾股定理求出BC²，再根据三角形的面积公式及AB=2BC，得出S_△ABC=BC²；
（2）当△ABD为等腰三角形时，分三种情况：①AD=AB；②AD=BD；③AB=BD．每一种情况，都可以根据两点间距离公式列出关于t的方程，解方程即可．
点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数解析式的确定，方程的解法等知识，注意（2）中，进行分类讨论是解题的关键．