Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sinB＝，求线段FA的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）FA＝．

【解析】

（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE＝90°即可；

（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到AD＝ABsinB＝，求得∠B＝∠ADE，得到sinB＝sin∠ADE＝＝，求得AE＝AD＝×＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）连接OD，则OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC．

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝8，sinB＝，

∴AD＝ABsinB＝，

∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，

∴∠BDO＝∠ADE，

∴∠B＝∠ADE，

∴sinB＝sin∠ADE＝＝，

∴AE＝AD＝×＝，

∵OD∥AE，

∴△FAE∽△FOD，

∴，

∵AB＝8，

∴OD＝AO＝4，

∴＝

∴FA＝．