题目内容

如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S₁，在l左上方部分的面积为S₂，记S为S₁、S₂的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．

解：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）当点M、N重合时，
∵S≥0，
∴应重合到点C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直线l的解析式y=x+4．

（3）四边形OABC的面积为 $\text{[math]}$ ×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，
$\text{[math]}$ ×2a×a=12，
解得：a=2 $\text{[math]}$ ，
∴OH=8-2 $\text{[math]}$ ，
∴点N的坐标为（8-2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），
代入y=x+b得：b=4 $\text{[math]}$ -8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4 $\text{[math]}$ -8．

（4）分为三种情况：①如图在N₁、M₁时，当4 $\text{[math]}$ -8≤b＜0时，

OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
y=-x+8，
解方程组 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
S₁= $\text{[math]}$ AM×NH= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₁-S₂= $\text{[math]}$ b²+4b+16-[24-（ $\text{[math]}$ b²+4b+16）]= $\text{[math]}$ b²+8b+8，
②当0≤b≤4时，如图在N₂、M₂点时，OM=b，CM=4-b，

S₂= $\text{[math]}$ （4-b）²，S₁=24-S₂，
S=S₁-S₂=-b²+8b+8，
③-8＜a＜-8+4 $\text{[math]}$ 时，如图，在N₃、M₃时，S₁= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₂-S₁=[24-（ $\text{[math]}$ b²+4b+16）]-（ $\text{[math]}$ b²+4b+16）=- $\text{[math]}$ b²+8b+8，
分析：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．求出点E的坐标，求出等腰直角三角形ABE即可；
（2）把A（8，0）C（0，4）点代入y=x+b求出即可；
（3）求出梯形的面积，过点N作x轴的垂线NH，得到NH=AH=MH，设NH=a，代入面积公式求出a，代入解析式求出b即可；
（4）分为三种情况：①当0≤b≤4时，②当4 $\text{[math]}$ -8≤b＜0时，③③-8＜a＜-8+4 $\text{[math]}$ 时，设直线AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解两直线组成的方程组，求出交点坐标，根据梯形和三角形的面积求出S即可．
点评：本题主要考查对三角形的面积，梯形，等腰直角三角形，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．