Question

18、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求∠OAD的度数；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD，从而表示出出∠AOD与∠ADO，进而求出∠OAD；
（2）根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．

解答：解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴三角形COD是等边△OCD，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°；

（2）①、根据旋转的性质，CO=CD，∠OCD=60°，所以△COD为等边三角形；
②当x=150°时，∠ADO=150°，而∠ODC=60°，所以∠ODA=90°，
即△AOD为直角三角形；
③、∠AOC=360°-110°-x=250°-x，∠AOD=∠AOC-60°=190°-x，
∠ADC=∠BOC=x，所以∠ODA=x-60°，
△AOD为等腰三角形，
当AO=OD进，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°-x+2×（x-60°）=180°，解得x=110°，
当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°-x=x-60°，解得x=125°，
当OD=AD时，2×（190°-x）+x-60°=180°，解得x=140°
所以当x为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．