Question

（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足

CF

FD

=

1

3

，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=

5

2

；④S_△DEF=4

5

．
其中正确的是

①②④

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：

AD

=

CD

，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由

CF

FD

=

1

3

，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=

5

4

；
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S_△DEF=4

5

．

解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴

AD

=

CD

，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵

CF

FD

=

1

3

，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG=

AF2-FG2

=

5

，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=

AG

DG

=

5

4

，
∴tan∠E=

5

4

；
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD=

AG2+DG2

=

21

，
∴S_△ADF=

1

2

DF•AG=

1

2

×6×

5

=3

5

，
∵△ADF∽△AED，
∴

S△ADF

S△AED

=（

AF

AD

）²，
∴

3 5

S△AED

=

3

7

，
∴S_△AED=7

5

，
∴S_△DEF=S_△AED-S_△ADF=4

5

；
故④正确．
故答案为：①②④．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．