Question

（2014•金山区一模）已知，二次函数y=ax²+bx的图象经过点A（-5，0）和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．
（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）；
（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；
（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=4

5

，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标．

解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，如图，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，cot∠BAO=

AD

BD

=2，
设BD=x，AD=2x，
∵OA=0B=5，
∴OD=2x-5，
在Rt△ODB中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（2x-5）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴BD=4，OD=3，
∴点B的坐标是（3，4），
（2）根据题意得

25a-5b=0 9a+3b=4

，
解这个方程组，得

a= 1 6 b= 5 6

，
∴二次函数的解析式是y=

1

6

x2+

5

6

x；
（3）∵直线BC平行于x轴，
∴C点的纵坐标为4，
设C点的坐标为（m，4）．
由题意得

1

6

m2+

5

6

m=4，解得m₁=3（不合题意，舍去），m₂=-8，
∴C点的坐标为（-8，4），BC=11，AB=4

5

．…（1分）
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么

AB

BC

=

AB

AP

，
∴AP=11，点P的坐标为（6，0），
②如果△ABC∽△PAB，那么

AB

BC

=

AP

AB

，
∴AP=

80

11

，点P的坐标为（

25

11

，0），
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（

25

11

，0）．

点评：用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．