Question

【题目】如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t(t>0)，矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t= ；

（2）当t=4时，直接写出S的值；

（3）求出S与t的函数关系式；

（4）若S=12，则t= ．

Answer 1

【答案】（1）t=（2） 7（3）（4）8

【解析】试题分析：（1）证明△BCD∽△BOA，利用线段比求出t值．（2）当t=4时，点E与A重合，证明△CBF∽△OBA求出CF．（3）根据t的取值范围求出S的值．(4) 由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8．

试题解析：

（1）由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8CO＝8 ，OA＝4，

则8 ，解得t＝ ，

∴当点D在直线AB上时，t＝．

（2）（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，

则由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7．

（3）当0<t≤时，S=t2,

当<t≤4时，如图（2），

∵A(4，0),B(0，8)

∴直线AB的解析式为y=-2x+8，G(t, 2t+8),F(4 ,),

∴DF= 4,DG= 8,

∴S=S矩形COED-S△DFG=t× (

4)( 8)

=-t2+10t-16.

当时，如图（3）

由∠BFC=∠BAO tan∠BAO=tan∠BFC

=2

∴S=S△BOAS△BCF=×4×8 ×(4-)(8 =

t2+2t.

综上（4）8

（提示：由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8．）

点睛: 本题考查的是二次函数的综合运用，相似三角形的判定以及考生的做题能力,解题时要注意分段函数．