Question

如图，在平面直角坐标系中，直线=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.
（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
（2）当为何值时，以与直线=的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

（1）⊙P与x轴相切．理由见解析；（2）-8或k=--8

试题分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．
（2）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，
①当圆心P在线段OB上时，②当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值．
试题解析：（1）⊙P与x轴相切，
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．
（2）设⊙P₁与直线l交于C，D两点，连接P₁C，P₁D，
当圆心P₁在线段OB上时，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD为正三角形，
∴DE=CD=，P₁D=3．
∴P₁E=．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴，即，
∴P₁B＝.
∴P₁O=BO-BP₁=8-．
∴P₁（0，-8）．
∴k=-8．
当圆心P₂在线段OB延长线上时，同理可得P₂（0，--8）．
∴k=--8．
∴当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．