Question

【题目】抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点；

（1）求点和点的坐标；

（2）连结、，抛物线的对称轴与轴交于点．

①若线段上有一点，使，求点的坐标；

②若抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①；②或

【解析】

（1）令y=0，找到A、B两点的左边，在进行配方，便可找到D点坐标.

(2)①先找C、D的坐标，连接，过点作于，则点坐标为，判断为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，。去证明，根据对应边成比例，找到Q的坐标，从而求出直线、直线解析式，这样便可找到P的坐标了.

②分两种情况讨论（I）当点在对称轴右侧时（II）当点在对称轴左侧时。通过找三角形相似，结合等腰三角形性质，进行求解，最后找到点M的坐标.

解：（1）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），

当时，，

解得或，

点的坐标为．

，

顶点的坐标为；

（2）①如下图

抛物线与轴交于点，

点坐标为．

对称轴为直线，

点的坐标为．

连接，过点作于，则点坐标为．

，

，

，，为直角三角形．

分别延长、，与轴相交于点，．

，

，

，

，

，

，即．

直线的解析式为，

直线的解析式为．

由方程组，解得．

点的坐标为；

②（I）当点在对称轴右侧时

若点在射线上，如备用图1，延长交轴于点，过点作轴于点．

，，

，

，

．

设，则．

，

，均为等腰直角三角形，

，，

，

，

，

代入抛物线，解得，

；

备用图1

若点在射线上，如备用图2，交轴于点，过点作轴于点．

，，

，

．

设，则．

，

，均为等腰直角三角形，

，，

，

，

，

．

代入抛物线，解得

；

（II）当点在对称轴左侧时

，

，

而抛物线左侧任意一点，都有，

点不存在

综上可知，点坐标为或．

备用图2