Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PD=EF；
（2）猜想PD与EF的位置关系，不必说明理由．
（3）设正方形的边长为4，点P在AC上移动（点P不与A、C重合），AP的长为x，△PEF的面积为S，试写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）延长FP交AD于点G，通过SAS证明△DGP≌△FPE，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）延长DP交EF于H．根据全等三角形的性质可得∠DPG=∠FEP，再根据等量关系可得∠PHE=90°，从而证明结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到S与x之间的函数关系式．

解答：（1）证明：延长FP交AD于点G，则PG⊥AD，四边形ABFG是矩形．
∵点P是正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠PAG=∠PAE=45°，∠GAE=90°，AD=AB，
又∵PG⊥AD，PE⊥AB，
∴PG=PE，
∴四边形AEPG为正方形，
∴PE=GA=PG，∠GPE=90°，
∴DG=FP．
在△DGP与△FPE中，
∵

DG=FP ∠DGP=∠FPE GP=PE

，
∴△DGP≌△FPE，
∴PD=EF；

（2）解：PD⊥EF，理由如下：
延长DP交EF于H．
由（1）知△DGP≌△FPE，
∴∠DPG=∠FEP，
∵∠DPG+∠EPH=180°-∠GPE=90°，
∴∠FEP+∠EPH=90°，
∴∠PHE=90°，即PD⊥EF；

（3）解：∵四边形AEPG为正方形，AP=x，
∴PE=PG=

2

2

x，
∴PF=GF-PG=4-

2

2

x，
∴△PEF的面积S=

1

2

•PE•PF=

1

2

×

2

2

x×（4-

2

2

x）=-

1

4

x²+

2

x，
∵点P在AC上移动（点P不与A、C重合），
∴0＜x＜4

2

．

点评：综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质好三角形的面积，本题关键是证明△DGP≌△FPE．