题目内容

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（2，0）且与直线 $数学公式$ 相交于B、C两点，点B在x轴上，点C在y轴上．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
（3）是否存在这样的点P，使PO=AO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）

直线 $\text{[math]}$ 与x轴的交点B的坐标为（4，0），与y轴的交点C的坐标为（0，3），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+3；

（2）S= $\text{[math]}$ ×2×y
=- $\text{[math]}$ x+3（0≤x≤4）；

（3）不存在．理由如下：
作OD⊥BC，如图，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
∴BC= $\text{[math]}$ =5，
∴OD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2.5，
∴点P到O点的最短距离为2.5，
∴不存在点P，使PO=AO=2．
分析：（1）先确定直线 $\text{[math]}$ 与x轴的交点B的坐标为（4，0），与y轴的交点C的坐标为（0，3），然后利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到S= $\text{[math]}$ ×2×y=y，然后利用y=- $\text{[math]}$ x+3的函数关系用x表示S即可；
（3）先利用勾股定理计算出BC，再利用面积法求出O点到BC的距离OD=2.5，则点P到O点的最短距离为2.5，所以不存在点P，使PO=AO=2．
点评：本题考查了二次函数的综合题：常用待定系数法求二次函数的解析式；会求直线与坐标轴的交点坐标和运用勾股定理进行几何计算．