Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF为其内接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，则图中阴影部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

分析：显然△BEF∽△BAC∽△EAD，S_阴影部分=S_△ABC-S_{正方形CDEF}．
根据BE：EA=BF：ED=BF：FE，运用勾股定理可求BF、FE、BC、AC，进一步计算面积．

解答：解：∵EF∥AC，DE∥BC，
∴△BEF∽△BAC∽△EAD．
∴BE：EA=BF：ED=BF：FE=1：2，
∵BE=1，设BF=x，则FE=2x．
根据勾股定理得 x²+（2x）²=1．
解得 x=

5

5

．
∴BF=

5

5

，FC=FE=

2 5

5

．
∴BC=

3 5

5

．
∴AC=

6 5

5

．
S_阴影部分=S_△ABC-S_{正方形CDEF}．
=

1

2

×

3 5

5

×

6 5

5

-

2 5

5

×

2 5

5

=

9

5

-

4

5

=1（cm²）．
故答案为 1．

点评：此题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，综合性强，难度较大．