Question

如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切．
（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由．
（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）本题需先利用等腰三角形三线合一的性质，判断出⊙O与AC相切，即可证出⊙O是△ABC的内切圆．
（2）本题需先根据勾股定理求出AE的长，再根据Rt△AOD∽Rt△ABE，得出

OA

AB

=

OD

BE

，最后即可求出⊙O的半径的长．

解答：解：（1）是．
理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D．
连接OD，则OD⊥AB于D．作OF⊥AC于F，
∵AE是底边BC上的高，
∴AE也是顶角∠BAC的平分线．
∴OF=OD=r为⊙O的半径．
∴⊙O与AC相切于F．
又∵⊙O与BC相切，
∴⊙O是△ABC的内切圆．

（2）∵OE⊥BC于E，
∴点E是切点，即OE=r．
由题意，AB=5，BE=

1

2

AB=2，
∴AE=

52-22

=

21

．
∵Rt△AOD∽Rt△ABE，
∴

OA

AB

=

OD

BE

，
即

21 -r

5

=

r

2

．
解得，r=

2 21

7

．
∴⊙O的半径是

2 21

7

．

点评：本题主要考查了三角形内切圆的性质，解题时要注意综合应用等腰三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定．