题目内容

如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．
求证： $数学公式$ ．

解：如图，连接AE、BE，
由弦切角定理可知，∠PCA=∠PAE，
则△PAC∽△PEA，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵PA=PB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在⊙O中，由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，
可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：由△PAC∽△PEA，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，两式相乘即可得出结论．
点评：本题考查了切线的性质、三角形的判定和性质，此题是一个综合题，难度较大．