Question

如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．
（1）填空：点D的坐标为______，点E的坐标为______．
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）本问非常复杂，须小心思考与计算：
①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考；
②当运动停止时，点E到达y轴，点E（-3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标．
解答：解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．
如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．
易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（-3，2）．
∴D（-1，3）、E（-3，2）．

（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），
则?
解得  ，
∴．

（3）①当点D运动到y轴上时，t=．
当0＜t≤时，如图（3）a所示．
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即=2
∵CC′=t，∴FC′=2t．?
∴S_△CC′F?=CC′•FC′=t×t=5t²
当点B运动到点C时，t=1．
当＜t≤1时，如图（3）b所示．
设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=
∴GH=，∴CH=GH=
∵CC′=t，∴HC′=t-，∴GD′=t-
∴S_{梯形CC′D′G}?=（t-+t） =5t-
当点E运动到y轴上时，t=．
当1＜t≤时，如图（3）c所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=t，B′C′=，
∴CB′=t-，?∴B′N=2CB′=t-
∵B′E′=，∴E′N=B′E′-B′N=-t
∴E′M=E′N=（-t）
∴S_△MNE′?=（-t）•（-t）=5t²-15t+
∴S_{五边形B′C′D′MN}?=S_{正方形B′C′D′E′}?-S_△MNE′?=（5t²-15t+）=-5t²+15t-
综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤时，S=5t²
当＜t≤1时，S=5t
当1＜t≤时，S=-5t²+15t
②当点E运动到点E′时，运动停止．如图（3）d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2，B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′（0，）
由点E（-3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．
∵=?
∴原抛物线顶点坐标为（，）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）．
点评：本题是非常典型的动线型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．