Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正确结论的个数是（　　）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

解：如图，过D作DMBE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ADBC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

②∵DEBM，BEDM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故②正确；

③∵点E是AD边的中点，

∴S△DEF=S△ADF，

∵△AEF∽△CBF，

∴AF：CF=AE：BC=，

∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，故③正确；

④设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有，即b=a，

∴tan∠CAD= =．故④正确；

故选A．