Question

【题目】在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．

材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．

（1）|x﹣3|＝4

解：由绝对值的几何意义知：

在数轴上x表示的点到3的距离等于4

∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1

（2）|x+2|＝5

解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7

材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．

由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．

∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．

故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．

阅读以上材料，解决以下问题：

（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为　 　；

（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．

（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）﹣11或8；（3）当x＝，最小值为；当x＝时，最小值为

【解析】

（1）由阅读材料直接可得；
（2）由已知可得：x=-3-1=-4或x=10+1=11，当y=3时，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7；
（3）当n是奇数时，中间的点为，所以当x=时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=；当n是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x=时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=．

解：（1）由阅读材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，

故答案为5；

（2）|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，

∵|x+3|+|x﹣10|＝15，

∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，

∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，

∴当y＝3时，有最小值7，

∴x﹣y＝﹣11或x﹣y＝8；

（3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，

当n是奇数时，中间的点为，

∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，

∴最小值为；

当n是偶数时，中间的两个点相同为，

∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，

∴最小值为．