Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE，∠ECB=45°．
（1）求证：AB=BE；
（2）延长BE，交CD于F．若CE=

2

，tan∠CDE=

1

3

，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）延长DE，交BC于G，通过证明△BEG≌△DCG（AAS），即可得出AB=BE；
（2）连接BD，可先证明BF⊥CD，求出△BCD的面积及CD的长，继而得出答案；或者利用△BEG∽△BFC，

BE

BG

=

BC

BF

，将各边代入求解．

解答：解：（1）证明：延长DE，交BC于G．
∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°
又AD∥BC，∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，（1分）
而∠ECB=45°，∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG（2分）
在△BEG和△DCG中，

∠EBG=∠CDG ∠EGB=∠CGD EG=CG

∴△BEG≌△DCG（AAS）（4分）
∴BE=CD=AB（5分）

（2）连接BD．
∵∠EBC=∠CDE，
∴∠EBC+∠BCD=∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90°
∵CE=

2

，∴EG=CG（16分）
又tan∠CDE=

1

3

，∴

CG

DG

=

1

3

，∴DG=3（7分）
∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3
∴BE=

BG2+EG2

=

10

∴CD=BE=

10

．（8分）
法一：∵S△BCD=

1

2

BC•DG=

1

2

CD•BF，

1

2

×4×3=

1

2

×

10

•BF
∴BF=

6 10

5

（10分）
法二：经探索得，△BEG∽△BFC，∴

BE

BG

=

BC

BF

，∴

10

3

=

4

BF

∴BF=

6 10

5

．（10分）

点评：本题考查了梯形、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度，注意这些知识的熟练掌握以便灵活运用．