题目内容
【题目】如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；
思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cos 35°=
，cos 55°=
）
【答案】（1）
；（2）
，2，
，
；（3）弧AP的长为
.
【解析】
试题分析：发现：连结OP，OQ，可得OP=OQ=PQ=2，即可得OP=OQ=PQ=2，根据弧长公式求得弧BC的长度，用半圆的弧长减去弧BC的长即可求得l的长；思考：当OM⊥AB时， 点M与AB的最大距离就是OM，△AOP是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得OM和PA的长，当Q与B重合点，点M与AB的距离最小，利用三角形的三边关系即可求得答案；探究：半圆M与AB相切，分两种情况①半圆M与AO切于点T时和②半圆M与BO切于点S时，分别求得弧AP的长即可.
试题解析：发现：连结OP，OQ，则OP=OQ=PQ=2.
∴∠POQ=60°，∴弧BC的长=
.
∴
.
思考：，2，，.
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图1，半圆M与AO切于点T时，连结PO,MO,TM.
则MT⊥AO，OM⊥PQ，
在Rt△POM中，sin∠POM=
，
∴∠POM=30°，
在Rt△TOM中，TO=
，
∴cos∠AOM=
，即∠AOM=35°，
∴∠POA=35°-30°=5°.
∴弧AP的长=
.
②如图2，半圆M与BO切于点S时，连结PO,MO,SM..
根据圆的对称性，同理得弧BQ的长为
，
由得弧AP的长为
.
综上，弧AP的长为.
