Question

如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，

BE

=2

AE

，四边形ABCD为矩形，且AB=2BC，OF⊥CD于F，OD，EF相交于P点，下列结论：①

OF

PF

=

6

2

；②PD=PE；③OE⊥OD；④PD=4PO，其中正确的结论的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：过E作EN垂直DC交AB于点M，设EF与AB交于点H，设圆的半径为R，根据题意，

BE

=2

AE

，可得出∠AOE=60°，继而求得EM、MO的长度，根据三角形的相似定理可求得MH，继而得出OH，利用相似三角形的性质可分别求出OP、DP、HP、PF，这样即可判断各结论正确与否．

解答：解：

过E作EN垂直DC交AB于点M，设圆的半径为R，
∵AB为⊙O的直径，

BE

=2

AE

，
∴∠AOE=60°，
∵EN⊥DC，四边形ABCD为矩形，
∴EN⊥AB，
在Rt△EMO中，∠AOE=60°，则∠OEM=30°，
∴OM=

1

2

R，EM=

3

2

R，
易得四边形OMNF为矩形，则MN=OF=BC=

1

2

AB=R，
∴NF=OF=

1

2

R，
∵△EMH∽△ENF，
∴

EM

EN

=

MH

NF

，即

3 2 R

( 3 2 +1)R

=

MH

1 2 R

，
解得：MH=

2 3 -3

2

R，则OH=OM-MH=（2-

3

）R，
在Rt△OHF中，HF=

OH2+OF2

=（

6

-

2

）R，
∵△OPH∽△DPF，
∴

HP

PF

=

OH

DF

=2-

3

，
∵HP+PF=HF=（

6

-

2

）R，
∴HP=（

2 6

3

-

2

）R，PF=

6

3

R，
∴

OF

PF

=

6

2

，故①正确；
同理可得：OP=

3 2 - 6

6

R，PD=

3 2 + 6

6

R，
在Rt△EMH中，EH=

EM2+MH2

=

6-3 3

=

3 2 - 6

3

，
则EP=EH+HP=DP=

3 2 + 6

6

R，故②正确；
∠AOE+∠AOD=60°+45°=105°，故③错误；

OP

PD

=

OH

DF

=2-

3

≠

1

4

，故④错误．
综上可得①②正确，共2个．
故选B．

点评：本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，综合考察的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握所学知识点，并灵活运用，难度较大．