Question

（1998•天津）若方程m²x²-（2m-3）x+1=0的两个实数根的倒数和是S，求S的取值范围．

Answer 1

分析：设方程的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=

2m-3

m2

，x₁•x₂=

1

m2

，则可计算出S=

x1+x2

x1•x2

=

2m-3 m2

1 m2

=2m-3，再根据根的判别式得到m²≠0且△=（2m-3）²-4m²≥0，即m的范围为m≤

3

4

且m≠0，然后把m=

1

2

（S+3）代入两个不等式得到关于S的两个不等式，再求出两不等式的公共部分即可．

解答：解：设方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

2m-3

m2

，x₁•x₂=

1

m2

，
∵S=

1

x1

+

1

x2

，
∴S=

x1+x2

x1•x2

=

2m-3 m2

1 m2

=2m-3，
∵方程m²x²-（2m-3）x+1=0的两个实数根，
∴m²≠0且△=（2m-3）²-4m²≥0，解得m≤

3

4

，
∴m的范围为m≤

3

4

且m≠0，
而m=

1

2

（S+3），
∴

1

2

（S+3）≤

3

4

且

1

2

（S+3）≠0，
∴S的范围为S≤-

3

2

且S≠-3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判别式．