Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，且E在边AC的垂直平分线上，作CD⊥BA，垂足为D．若∠ACE=30°，试证明：
（1）△CEB是等边三角形；
（2）AB=4BD．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE=CE=BE，求出∠A=30°，求出∠B=60°，根据等边三角形的判定推出即可．
（2）根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2BC，求出∠BCD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出BC=2BD，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴CE=BE=AE，
∵∠ACE=30°，
∴∠A=∠ACE=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°，
∵BE=CE，
∴△CEB是等边三角形．

（2）∵△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的推理能力．