题目内容

已知⊙O的半径为12cm，弦AB=12 $数学公式$ cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离．
（2）若弦AB恰好是△OCD的中位线，以CD中点E为圆点，R为半径作⊙E，当⊙O和⊙E相切时，求R的值．

解：（1）过O作OF⊥AB于F，交CD于E，
∵OA=OB，
∴AF=BF= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ×12 $\text{[math]}$ cm=6 $\text{[math]}$ cm，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：OF= $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ （cm），
即圆心O到弦AB的距离是6 $\text{[math]}$ cm；

（2）∵OF=AF=6 $\text{[math]}$ cm，
∴∠OAB=45°，
∵AB是△OCD的中位线，
∴CD=2AB=24 $\text{[math]}$ cm，
∴OF=EF=6 $\text{[math]}$ cm，
即ME=OE-0M=6 $\text{[math]}$ +6 $\text{[math]}$ -12=（12 $\text{[math]}$ -12）cm，
分为两种情况：当两圆外切时，半径R=ME=（12 $\text{[math]}$ -12）cm，当两圆内切时，半径R=EN=（12 $\text{[math]}$ +12）cm．
分析：（1）过O作OF⊥AB于F，交CD于E，根据等腰三角形性质求出AF，根据勾股定理求出OF即可；
（2）求出OE，求出EM和EN，即可得出答案．
点评：本题考查了等腰三角形性质，三角形的中位线，圆与圆的位置关系的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目．