题目内容
如图，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直线为x轴，以垂直于底边的腰OC所在的直线为y轴，
O为坐标原点，建立平面直角坐标系，CD和OB的长是方程x2-5x+4=0的两个根．（1）试求S△OCD：S△ODB的值；
（2）若OD2=CD•OB，试求直线DB的解析式；
（3）在（2）的条件下，线段OD上是否存在一点P，过P做PM∥x轴交y轴于M，交DB于N，过N作NQ∥y轴交x轴于Q，则四边形MNQO的面积等于梯形OBDC面积的一半？若存在，请说明理由，并求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）求出程x2-5x+4=0的两根，可知CD=1，OB=4；分别用OC表示出△OCD与△ODB的面积，再求出比值；
（2）OD2=CD•OB即OD=2，过点D作DE⊥OB于E．可分别求出B，D两点的坐标，用待定系数法求出过这两点直线的解析式；
（3）直线OD的解析式为y=
x，设P点的坐标（a，b），N点纵坐标为
a，代入直线DB的解析式即可求出x的值．
（2）OD2=CD•OB即OD=2，过点D作DE⊥OB于E．可分别求出B，D两点的坐标，用待定系数法求出过这两点直线的解析式；
（3）直线OD的解析式为y=
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）由方程x2-5x+4=0解得
x1=1，x2=4，
即CD=1，OB=4；（2分）
S△OCD=
CD•OC=
OC；
S△ODB=
OB•OC=2OC，
∴S△OCD：S△ODB=
． （3分）
（2）∵OD2=CD•OB即OD=2．过点D作DE⊥OB于E．
点D（1，
），点B（4，0），（4分）
∴设直线DB的解析式为y=kx+b，则有
．
解得k=-
，b=
，所求直线DB的解析式为y=-
x+
． （5分）
（3）存在点P，理由如下：（6分）
由题意，得
直线OD的解析式为y=
x，设P点的坐标（a，b），
∴N点纵坐标为
a，
∴
a=-
x+
．
∴x=4-3a，
∴（4-3a）×
a=
即12a2-16a+5=0．
∵（-16）2-4×12×5=16＞0，
∴解得a1=
，a2=
．
∴点P坐标为（
，
）或（
，
）． （8分）
x1=1，x2=4，
即CD=1，OB=4；（2分）
S△OCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
S△ODB=
| 1 |
| 2 |
∴S△OCD：S△ODB=
| 1 |
| 4 |
（2）∵OD2=CD•OB即OD=2．过点D作DE⊥OB于E．
点D（1，
| 3 |
∴设直线DB的解析式为y=kx+b，则有
|
解得k=-
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（3）存在点P，理由如下：（6分）
由题意，得
直线OD的解析式为y=
| 3 |
∴N点纵坐标为
| 3 |
∴
| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴x=4-3a，
∴（4-3a）×
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| 3 |
∵（-16）2-4×12×5=16＞0，
∴解得a1=
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| 6 |
∴点P坐标为（
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| 2 |
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| 2 |
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5
| ||
| 6 |
点评：此题比较复杂，把一次函数与一元二次方程，梯形的性质相结合，使题目具有一定的综合性，是一道好题．
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