Question

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，E是AC上一点，AE=3，ED⊥AB，垂足为D．求DE的长和Sin∠DEA．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠DEA=∠B，即可得出答案．

解答 解：∵Rt△ABC中，AB=5，AC=4，
∴根据勾股定理：BC²=AB²-AC²，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵ED⊥AB，
∴∠EDA=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠EDA=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴DE=$\frac{BC•AE}{AB}$=$\frac{3×3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∵△AED∽△ABC，
∴∠DEA=∠B，
∴sin∠DEA=sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能求出△AED∽△ABC是解此题的关键．