Question

【题目】在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点.

若点在上（如图①），此时，可得结论：.

请应用上述信息解决下列问题：

当点分别在内（如图②），外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，，，，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.

Answer 1

【答案】当点在内时，成立，证明见解析；当点在外时，不成立，数量关系为.

【解析】

当点在内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；

当点在外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.

解：当点在内时，上述结论成立.

证明：∵，，∴四边形为平行四边形，

∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，∴，

∴，即，

又∵，，

∴；

当点在外时，上述结论不成立，此时数量关系为.

证明：∵，，∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，∴，

又∵，∴，∴，∴，

∴，即，

又∵，，

∴.