题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．
分析：首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有
=
，即可得出△ADO∽△ABE，即可得出BD=2CD．
| AD |
| AC |
| AF |
| AE |
解答：
证明：作DO∥AB交AC于O．
则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠BAC=2∠CED，
所以O为△EDC的外心，
取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
所以△ACE∽△ADF，即有
=
．
再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，
∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
所以△ADO∽△ABE，
即得
=
=
=
．
故AF=OD=OC=
CF，从而AO=2OC．
由DO∥AB，得：BD=2CD．
证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠BAC=2∠CED，
所以O为△EDC的外心，
取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
所以△ACE∽△ADF，即有
| AD |
| AC |
| AF |
| AE |
再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，
∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
所以△ADO∽△ABE，
即得
| OD |
| AE |
| AD |
| AB |
| AD |
| AC |
| AF |
| AE |
故AF=OD=OC=
| 1 |
| 2 |
由DO∥AB，得：BD=2CD．
点评：此题主要考查了等腰三角形有关知识，以及同圆中同角所对的弦之间的关系．
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