Question

探索研究
如图，在直角坐标系中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为，直线过且与x轴平行，过作y轴的平行线分别交x轴，于，连结交x轴于H，直线交y轴于R．
（1）求证：点H为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形；
（3）除点P外，直线PH与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

Answer 1

（1）解：由题可知．
，，．
 ，即H为的中点．
（2）①由（1）可知，，
，，
．
 ，
又，
∴四边形为平行四边形． 
②设，轴，则，则．
过P作轴，垂足为G，在中，
．
∴平行四边形为菱形．
（3）设直线PR为，由，得，代入得：

∴直线PR为．
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线PH与抛物线只有一个公共点P．