Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

A
分析：本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；
②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE²=DF•DA；
④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC．
解答：解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=BC，CE=AC
∴BD=EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF•DA
∴CE²=DF•DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴④是正确的．
故选A．
点评：本题主要应用到了三角形外角与内角的关系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性质，内容较多，较为复杂．