Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=

1

2

AB．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形的性质得出∠OEC=∠C，即可得出∠B=∠OEC，进而得出答案；
（2）利用切线的性质，可证出四边形OEHF为平行四边形，进而得出EH=OF=

1

2

CD=

1

2

AB．

解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB；

（2）证明：连接OF，
∵⊙O与AB切于点F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
∵OF=

1

2

CD，AB=CD，
∴EH=

1

2

AB．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．