Question

（2009•大兴区二模）已知，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），C（0，），此抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）把△ABC的绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．
①求E点的坐标；
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．
（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①△ABC绕AB的中点M旋转180度．可知点E和点C关于点M对称．则E的坐标就可以求出．
②根据四边形AEBC的对角线互相平分，可知是平行四边形．Rt△ACO中，OC=，OA=3得到∠ABE=30°，
在Rt△COB中OC=，OB=1得到∠CBO=60°，则∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°因而ABEC是矩形．
（3）点A与点A₁也关于直线BC对称．连接A₁D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．求出BC的解析式，A₁D的解析式，两直线的交点就是所求的点．
解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c过C（0，），
∴
又y=ax²+bx+c过点A（-3，0）B（1，0），
∴
∴，
∴此抛物线的解析式为．

（2）①△ABC绕AB的中点M旋转180度．可知点E和点C关于点M对称，
∴M（-1，0），C（0，），
∴E（-2，-）．
②四边形AEBC是矩形．
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC，
∴AEBC是平行四边形在Rt△ACO中，OC=，OA=3，
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四边形
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC=，OB=1，
∴∠CBO=60°，
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形．

（3）假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．
因为AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴A（-3，0）关于点C（0，）的对称点A₁（3，2）．
点A与点A₁也关于直线BC对称．
连接A₁D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．
∵B（1，0）、C（0，）
∴BC的解析式为
∵A₁（3，2）、D（-1，）
∴A₁D的解析式为．
∴，
∴，
∴P的坐标为（）．
点评：本题主要靠了待定系数法求直线的解析式，以及函数图象交点坐标的求法．