Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点

P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

Answer 1

解：（1）AB=AC。理由如下：

连接OB。

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。

∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。

∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。

∴AB=AC。

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。

又∵PC=，

∴ 。

由（1）AB=AC得，解得：r=3。

∴AB=AC=4。

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。

∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。

 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

则OE=AC=AB=。

又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=≤r，

∴r≥。

又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。

∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5．

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出

，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出PB即可。

（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。