Question

如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判

(2)将原题中正方形改为矩形(如图图6)，且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb(a≠b，k＞0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

(3)在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a＝3，b＝2，k＝，求BE²＋DG²的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①BG＝DE，BG⊥DE　　1分 　　②BG＝DE，BG⊥DE仍然成立　　2分 　　在图(2)中证明如下 　　∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形 　　∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90° 　　∴∠BCG＝∠DCE 　　∴△BCG≌△DCE(SAS)　　3分 　　∴BG＝DE　∠CBG＝∠CDE 　　又∵∠CBG＋∠BHC＝90°　∠BGC＝∠DHO 　　∴∠CDE＋∠DHO＝90°　∴∠DOH＝90° 　　∴BG⊥DE　　4分 　　(2)BG⊥DE成立，BG＝DE不成立　　6分 　　简要说明如下 　　∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形， 　　且AB＝a，BC＝b，CG＝kb，CE＝ka(a≠b，k＞0) 　　∴＝＝，∠BCD＝∠ECG＝90° 　　∴∠BCG＝∠DCE 　　∴△BCG∽△DCE　　7分 　　∴∠CBG＝∠CDE 　　又∵∠BHC＝∠DHO　∠CBG＋∠BHC＝90° 　　∴∠CDE＋∠DHO＝90°　∴∠DOH＝90° 　　∴BG⊥DE　　8分 　　(3)∵BG⊥DE 　　∴BE2＋DG2＝OB2＋OE2＋OG2＋OD2＝BD2＋GE2 　　又∵a＝3，b＝2，k＝ 　　∴BD2＋GE2＝22＋32＋12＋()2＝ 　　∴BE2＋DG2＝　　10分