Question

已知：⊙O分别与△ABC的两边AB、AC所在直线相切于点D、F，且OB=OC．
（1）如图1，若圆心O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若圆心O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）当小明完成以上两小题后，得出一个结论：若圆心O在△ABC的外部，AB=AC仍然成立．你同意他的说法吗？若同意，请证明；若不同意，请画图说明（不要求尺规作图）．

Answer 1

分析：（1）可由HL证得Rt△OBD≌Rt△OCF，从而得到∠B=∠C?AB=BC；
（2）连接OD，OF，BO，CO，也可由HL证得Rt△OBD≌Rt△OCF，得到∠DBO=∠FCO，由等边对等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB?AB=AC；
（3）通过作图，可知AB=AC不一定成立．

解答：（1）证明：连接OD，OF（如图1），
∵⊙O分别与△ABC的两边AB、AC所在直线相切于点D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BDO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBD和Rt△OCF中，

OD=OF OB=OC

，
∴Rt△OBD≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
（2）连接OD，OF，BO，CO（如图2），
∵⊙O分别与△ABC的两边AB、AC所在直线相切于点D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BDO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBD和Rt△OCF中，

OD=OF OB=OC

，
∴Rt△OBD≌Rt△OCF（HL）．
∴∠DBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠DBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）解：不一定成立，如右图．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．利用全等三角形的性质求线段相等时证明线段相等的最常用方法之一，要熟练掌握．