Question

已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=

3

5

，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y．

（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长；
（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）连接EC，如图2，求当x为何值时，△AEC与△BEF相似？

Answer 1

分析：（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．根据等腰三角形的性质和三角函数的定义可得含x的代数式表示线段AE的长；
（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．根据平行线分线段成比例可得y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：①∠A=∠FEB，

AE

AC

=

BE

EF

；②∠A=∠FEB，

AE

AC

=

EF

BE

；根据相似三角形的性质可得x的值．

解答：解：（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．
∵∠A=∠AED，
∴AD=ED，
∴AH=

1

2

AE，
∵cosA=

3

5

，AD=x，
∴AH=

3

5

x，
∴AE=

6

5

x．

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．
∴

DG

AB

=

CD

AC

，
∵AB=4，AC=5，
∴

DG

4

=

5-x

5

，
∴DG=

20-4x

5

，
∵AB∥DG，
∴

BE

DG

=

FE

FD

，
∵BE=4-

6

5

x，EF=y，
∴

4- 6 5 x

20-4x 5

=

y

y+x

，
∴y=10-3x(0＜x＜

10

3

)．

（3）∵∠AED=∠FEB，∠AED=∠A，
∴∠A=∠FEB，
当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：
①∠A=∠FEB，

AE

AC

=

BE

EF

，
∴

6 5 x

5

=

4- 6 5 x

y

，
又∵y=10-3x，
∴x=

5

3

；
②∠A=∠FEB，

AE

AC

=

EF

BE

，
∴

6 5 x

5

=

y

4- 6 5 x

，
又∵y=10-3x，
∴x=

125

12

（舍）．
综上所述，当x=

5

3

时，△AEC与△BEF相似．

点评：考查了相似形综合题，其中包括等腰三角形的性质、三角函数、平行线分线段成比例、相似三角形的性质，其中第三问要分两种情况讨论，综合性较强，有一定的难度．