Question

如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切，且半径分别为r₁、r₂、r₃、r₄、r₅．若最小的半径r₁=1，最大的半径r₅=81．求θ．

Answer 1

分析：由题意要求θ，如图示先求出sin

θ

2

，可得θ值，由sin

θ

2

=

BC

AB

=（r₅-r₄）：（r₅+r₄）．得r₅与r₄的关系，同理求得r₅与r₁的关系后代入r₁=1，r₅=81的值可得sin

θ

2

，进而得θ值，

解答：解：如图所示，A、B是两圆的圆心．
过A、B分别作AE、BD都垂直于DE．
∴BC=r₅-r₄，AB=r₅+r₄，
∴AC∥DE，
∴∠CAB=

θ

2

，
∴sin

θ

2

=

BC

AB

=（r₅-r₄）：（r₅+r₄）．
∴（1+sin

θ

2

）r₄=（1-sin

θ

2

）r₅．
同理（1+sin

θ

2

）r₃=（1-sin

θ

2

）r₄，
同理可得，r1=(

1-sin θ 2

1+sin θ 2

)4•r5
∴(

1-sin θ 2

1+sin θ 2

)4=

1

81

?

1-sin θ 2

1+sin θ 2

=

1

3

?sin

θ

2

=

1

2

∴

θ

2

=30°，θ=60°．

点评：这道题考查了相切圆的性质，角的表示与计算，同学们应熟练掌握．