Question

如图，已知△ABC，P为内角平分线AD，BE，CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：利用AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，得出∠BAD=

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∠BAC，∠ABE=

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∠ABC，∠BCF=

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∠ACB，再利用三角形的外角意义得出∠BPD=∠BAD+∠ABE等量代换得出∠BPD=90°-

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∠ACB；再利用PG⊥BC，得出三角形CPG是直角三角形，利用三角形的内角和表示出∠CPG=90°-

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∠ACB，证明结论成立．

解答：∠BPD=∠CPG
证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠BAD=

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∠BAC，∠ABE=

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∠ABC，∠BCF=

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∠ACB，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC），
∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB，
∴∠BPD=

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（180-∠ACB）=90°-

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∠ACB；
∵PG⊥BC，
∴∠PGC=90°，
∴∠BCE+∠CPG=180°-∠PGC=90°，
∴∠CPG=90-∠BCE=90°-

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∠ACB，
∴∠BPD=∠CPG．

点评：此题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的意义，垂直的性质等知识点．