Question

抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x-3）（x+1）=0，
解得x=3或-1，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；

（2）①如右图．
∵抛物线y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，-3）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，-3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴==，
∴OQ=3OC=9，即Q（-9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=-x-3，
直线BD的解析式为y=2x-6．
由方程组，解得．
∴点P的坐标为（，-）；

②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG-FC=a，
∴M（a，-3+a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=，
∴M（，-）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，-3+a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（，-）或（5，12）．
分析：（1）解方程（x-3）（x+1）=0，求出x=3或-1，根据抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x-3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即可确定顶点D的坐标；
（2）①根据抛物线y=（x-3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q的坐标（-9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=-x-3，直线BD的解析式为y=2x-6，解方程组，即可求出点P的坐标；
②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x-3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．