Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为：，若将直线绕点旋转.如图所示，当直线旋转到位置时，且与轴交于点，与轴交于点；当直线旋转到位置时，且与轴交于点．

（1）求点的坐标；

（2）直接写出、、三点的坐标，连接，计算的面积；

（3）已知坐标平面内一点，其坐标满足条件，当点与点距离最小时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为；（2），，；；（3）

【解析】

解：（1）当时，，

当时，，

联立解析式，得，

解得，

∴点A的坐标为；

（2） ，，；

如解图①，连接DC.

∴，，

∵点，∴底边DB上的高为1，

∴.

【解法提示】将代入得：，

∴，

将代入得：，解得，

∴，

将代入得：，

∴；

（3） .

【解法提示】∵，

∴点E在直线上．

如解图②，过点A作直线的垂线，垂足为点E，过点A作轴，交直线于点F，过点E作，垂足为点G.

将代入得：，

∴.

∵点E在直线上，

∴，

∴为等腰直角三角形．

∵，

∴，

∴点E的纵坐标，

∴.

图①

图②

【思维教练】（1）将和分别代入直线的解析式，得到和的解析式，联立，解关于、的方程组，可求得点的坐标；（2）先求得点、、的坐标，然后依据求解即可；（3）由点可将问题转化为求点到直线距离最小时的值，根据垂线段最短求解．