Question

如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC，D为OB的中点，将△CBD沿直线CD对折，点B落在点E处，连BE，过E作EF⊥OB于F．
（1）写出点C的坐标；
（2）试说明△CBD∽△BFE；
（3）求E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得到OA=OB，从而不难求得点C的坐标．
（2）根据正方形的性质可得到各角均为直角，由已知可推出∠BCD=∠EBF，从而可利用有两组角相等的两个三角形相似来进行判定．
（3）根据勾股定理可求得CD的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得BF，EF的长，从而可得到点E的坐标．

解答：解：（1）∵OA=OB=2
∴C（2，2）（1分）

（2）设CD和BE交于点M
∵四边形AOBC是正方形
∴∠CBO=90°
∵EF⊥OB
∴∠EFB=90°
∴∠CBO=∠EFB=90°
∵CD⊥EB于点M
∴∠BCD=∠EBF（2分）
∴△CBD∽△BFE（3分）

（3）∵D是OB的中点
∴BD=

1

2

OB=1
∴在Rt△CBD中，CD=

BC2+BD2

=

22+12

=

5

（4分）
又∵BM是Rt△CBD斜边上的高
∴BM=

BD•BC

CD

=

1×2

5

=

2

5

=

2 5

5

∴BE=2BM=2×

2 5

5

=

4 5

5

（5分）
又∵△CBD∽△BFE
∴

BC

BF

=

BD

EF

=

CD

BE

∴

2

BF

=

1

EF

=

5

4 5 5

=

5

4

∴BF=

8

5

，EF=

4

5

（6分）
∴E(

2

5

，

4

5

)（7分）

点评：此题主要考查学生对正方形的性质，相似三角形的判定及性质的综合运用．