Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）AE=

1

3

CE．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；
（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．

解答：证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=

1

2

AD=

1

4

AB，
∴EC=3AE；
∴AE=

1

3

CE．

点评：本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．