Question

如图，过⊙O外一点A向⊙O引割线AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE过圆心O，D是AC中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FE，FB的长是方程x²-mx+b²=0（b＞0）的两个根，且△DEF与△CBE相似．
①试用m的代数式表示b；
②代数式3bm-8

3

b+7的值达到最小时，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）要证DF是⊙O的切线，只需证明FD⊥OD即可．
（2）根据相似三角形的性质及根与系数的关系，即可得到所求的代数式；
（3）将b=

3

4

m代入代数式3bm-8

3

b+7可得：

3 3

4

m²-12m+7，当它有最小值时，m=-

-12

2• 3 3 4

=

8 3

3

．因为△CEB与△CBD全等，可推出EC=2EB，利用勾股定理可得CB的式子，再分别将m的值代入即可求得CB的值．

解答：（1）证明：∵CE过圆心O，
∴CB⊥AB；
∵FD∥BC，
∴FD⊥AB；
∵CE过圆心O，D是AC的中点，
∴OD∥AB；
∴FD⊥OD；
∴DF是圆O的切线．

（2）解：∵△DEF∽△CBE，
∴

EF

BE

=

DF

CB

；
∵

DF

BC

=

1

2

，BE=BF-EF，
∴

EF

BF-EF

=

1

2

，
∴BF=3EF；
∵FE+FB=m，FE•FB=b²，
∴EF=

m

4

，BF=

3m

4

；
∴

m

4

•

3m

4

=b²；
∴b=

3

4

m（b＞0）．

（3）解：将b=

3

4

m代入代数式3bm-8

3

b+7得：

3 3

4

m²-6m+7，
当它有最小值时，m=

-6

2• 3 3 4

=

4 3

3

；
∵△CEB≌△CBD，
∴CB=CD；
∵CD=

1

2

AC，
∴CB=

1

2

AC，
∴∠A=30°，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴EC=2EB；
∴CB=

CE2-BE2

；
∴CB=

3

BE=

3

•

1

2

m；
∵m=

4 3

3

，
∴BC=2．

点评：此题考查了圆的切线的判定、相似三角形的性质、全等三角形的性质及勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．