Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；
（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点B作BM⊥AC于点M，

∵AC=9，S△ABC= ，

∴ ACBM= ，即 ×9BM= ，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM= = =4，

则tanA= =

（2）

解：存在．

如图2，

过点P作PN⊥AC于点N．

依题意得AP=CQ=5t．

∵tanA= ，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，

S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜ ）．

∵﹣ = = 在t的取值范围之内，

∴S最小值= = =

（3）

解：

①如图3，当点E在边HG上时，t1= ；

②如图4，当点F在边HG上时，t2= ；

③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t3=1

④如图6，当点F边CG上时，t4=

【解析】（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，利用面积法求得BM的长度，利用勾股定理得到AM的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P作PN⊥AC于点N．利用（1）中的结论和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2 ， 所以由正方形的面积公式得到S关于t的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．