Question

如图，平面直角坐标系xOy中，边长为

2

的正方形ABCD，对角线AC、BD分别在x轴，y轴上，过点O作OE⊥BA于点E₁，再过点E₁，作E₁A₁⊥CA于点A₁着接过点A₁，作A₁E₂⊥BA于点E₂，继续过点E₂作E₂A₂⊥CA于点A₂…按此方法继续下去，可以分别得到E_n+1A_n点．则A₂E₃等于

2

8

，A_nE_n+1等于

2

2n+1

．

Answer 1

分析：由正方形的边长为

2

，根据正方形的性质及勾股定理就可以求出OA=OB=1，由等腰直角三角形的性质可以求出OE1的值，再由三角形的中位线的性质就可以求出A1E2，A2E3的值，进而通过寻找规律就可以得出结论．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=

2

，OA=OB．
∵OE₁⊥BA，
∴OE₁=

2

2

=

2

×

1

2

．
∵E₁A₁⊥CA，
∴A₁是OA的中点．
∴A₁E₂⊥BA，
∴A₁E₂∥OE₁，
∴A₁E₂=

2

4

=

2

×

1

4

=

2

×(

1

2

)2，
E₂A₂⊥CA，
∴A₂是A₁A的中点，
∵A₂E₃⊥AB，
∴A₂E₃=

2

8

=

2

×(

1

2

)3，
…
∴AnEn+1=

2

×(

1

2

)n+1=

2

2n+1

，
故答案为：

2

8

；

2

2n+1

．

点评：本题本题是一道规律题，考查正方形的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，解答时运用三角形的中位线的性质求解是关键．